Question

（本小題滿分13分）
已知數列滿足：，
（I）求得值；
（II）設求證：數列是等比數列，并求出其通項公式；
（III）對任意的，在數列中是否存在連續的項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數列；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（I）因為，
       ………………3分
（II）由題意，對于任意的正整數，
所以           ………………4分
又
所以          ………………6分
又       ………………7分
所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以………………8分
（III）存在，事實上，對任意的中，
這連續的項就構成一個等差數列………………10分
我們先來證明：
“對任意的”
由（II）得
當為奇數時，
當k為偶數時，
記
因此要證
其中
（這是因為若時，則k一定是奇數）
有


如此遞推，要證
其中
如此遞推下去，我們只需證明
即，由（I）可得，
所以對
對任意的

所以
又
所以這連續的項，
是首項為的等差數列。 ………………13分
說明：當時，
因為構成一個項數為的等差數列，所以從這個數列中任取連續的項，也是一個項數為的等差數列。

略