Question

【題目】設函數f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R． （Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當x∈（0，+∞）時，ln ＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，則f（x）=ex﹣x﹣1，f'（x）=ex﹣1； 令f'（x）=0，得x=0；
∴當x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減；
當x≥0時，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
即a=1時，f（x）的單調減區間為（﹣∞，0），單調贈區間為[0，+∞）；
（Ⅱ）∵ex＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等價于 恒成立；
設 ，x∈（0，+∞）， ；
當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減；
∴x∈（0，+∞）時，g（x）＜g（0）=1；
∴a≥1；
∴a的取值范圍為[1，+∞）；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，+∞）時， 等價于ex﹣xex﹣1＞0；
設h（x）=ex﹣xex﹣1，x∈（0，+∞）， ；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）時，ex﹣x﹣1＞0恒成立；
∴ ；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∴x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0；
因此當x∈（0，+∞）時，
【解析】（Ⅰ）a=1時得出f（x），進而得到f′（x）=ex﹣1，這樣便可判斷導數符號，根據符號即可得出f（x）的單調區間；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到 恒成立，這樣設 ，求導，根據導數符號便可判斷g（x）在（0，+∞）上單調遞減，這便可得到g（x）＜1，從而便可得出a的取值范圍；（Ⅲ）容易得到 等價于ex﹣xex﹣1＞0，可設h（x）=ex﹣xex﹣1，求導數，并根據上面的f（x）＞0可判斷出導數h′（x）＞0，從而得到h（x）＞h（0）=0，這樣即可得出要證明的結論．