Question

【題目】設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【解析】解：設g（x）= ，則g（x）的導數為：g′（x）= ，
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，
即當x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當x＞0時，函數g（x）= 為減函數，
又∵g（﹣x）= = = =g（x），
∴函數g（x）為定義域上的偶函數
又∵g（﹣1）= =0，
∴函數g（x）的大致圖象如圖所示：
數形結合可得，不等式f（x）＞0xg（x）＞0
或 ，
0＜x＜1或x＜﹣1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
所以答案是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．