Question

【題目】已知直線，圓.

（1）試證明：不論為何實數，直線和圓總有兩個交點；

（2）當取何值時，直線被圓截得的弦長最短，并求出最短弦的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2），最短弦長為4.

【解析】

（1）根據圓的方程，得到圓心坐標與半徑，再由點到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，比較與的大小，即可得出結果；

（2）先根據圓的性質，得到弦長（是圓的半徑，是圓心到直線的距離），由題意，得到直線恒過點，當與直線垂直時，所求弦長最短，從而可求出結果.

（1）因為圓的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

而，即，

∴不論為何實數，直線和圓總有兩個交點；

（2）根據圓的性質可得：弦長的一半，圓心到弦的距離，圓的半徑，三者滿足勾股定理；

即弦長（是圓的半徑，是圓心到直線的距離），

而圓心，直線恒過點，

因此當與直線垂直時，所求弦長最短.

此時，，，

所求最短弦長為.