Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知為橢圓的上頂點，P為橢圓E上異于上、下頂點的一個動點．當點P的橫坐標為時，．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設M為x軸的正半軸上的一個動點．

①若點P在第一象限內，且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點M，求AP的長．

②若，是否存在點N，滿足，且AN的中點恰好在橢圓E上？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在點滿足題意．

【解析】

（1）根據題意可知，可求出P點坐標，代入方程求出即可;

（2）①設,則可表示出圓心坐標可設為，，根據圓的性質及點P在橢圓上列出方程組求解即可；

②設，，根據， AN的中點恰好在橢圓E上，且得到點坐標，即可求解.

（1）因為是橢圓E的上頂點，所以．

當點P的橫坐標為時，．

設，則，解得，

所以橢圓E的標準方程為．

（2）①設，則以AP為直徑的圓的圓心坐標可設為．

又因為，所以．

因為，所以，

得．

因為點P在橢圓E上，所以，

與聯立解得（負值舍去），

所以．

②設，．

因為，

所以，

解得，

所以AN的中點坐標為

因為AN的中點在橢圓E上，

所以．（*）

因為，所以．

因為點P在橢圓E上，

所以，（**）

與聯立消去得

．

又因為，所以，

代入（*）式和（**）式得

消去m得．

又因為．所以，

代入（**）式和，

解得（負值舍去），

故．

綜上，存在點，滿足

且AN的中點恰好在橢圓E上．