Question

【題目】如圖，已知動圓過點，且在軸上截得弦的長為4.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知，過點的直線交軌跡于，兩點，直線，分別與軌跡交于，兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)，利用弦心距，半弦長，半徑所成的直角三角形列方程，化簡可得；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)，AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，由A，F可得AC的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得A，C坐標(biāo)的關(guān)系，同法得B，D坐標(biāo)的關(guān)系，然后用C，D坐標(biāo)表示后可轉(zhuǎn)化為A，B的坐標(biāo)，從而得到與的關(guān)系，得到定值.

（1）如圖所示，設(shè)動圓的圓心，由題意，，

當(dāng)不在軸上時，過作交于，則是的中點，

∴，

又，

∴，化簡得；

又當(dāng)在軸上時，由已知可得與重合，點的坐標(biāo)也滿足方程，

∴動圓圓心的軌跡的方程為；

（2）為定值，下面給出證明：

設(shè)直線的方程為，，

，，不妨設(shè)，

聯(lián)立得，

∴，

①當(dāng)時，

若，則，，，

：，，

∴，.

若，同理可得；

②當(dāng)時，直線的方程為，

聯(lián)立得，

則，故，同理，

故，

∴（定值）.

綜上得為定值.