Question

【題目】已知在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，DA1＝DD1，點E，F分別為線段A1D1，BC的中點.

（1）求證：EF∥平面CC1D1D；

（2）求證：AC⊥平面EBD.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.

（2）通過證明，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，由菱形的性質(zhì)得到，從而證得平面.

（1）連結(jié)CD1，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1B1C1D1，BB1C1C是平行四邊形，

∴A1D1//B1C1，BC//B1C1，且A1D1＝B1C1，BC＝B1C1，

又∵點E，F分別為線段AD，BC的中點，

∴ED1//FC，ED1＝FC，

所以四邊形ED1CF是平行四邊形，

∴EF//CD1，又∵EF平面CC1D1D，CD平面CC1D1D，

∴EF//平面CC1D1D.

（2）四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，四邊形AA1D1D是平行四邊形，

∴AD//A1D1，在△DA1D1中，DA1＝DD1，點E為線段A1D1的中點，

∴DE⊥A1D1，又∵AD//A1D1，∴DE⊥AD，

又∵平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD＝AD，DE平面A1ADD1，

∴DE⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，∴DE⊥AC，

∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又∵BDDE＝D，BD，DE平面EBD，

∴AC⊥平面EBD.