Question

【題目】已知數列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數，且）成立，則稱數列為“數列”.

（1）若數列為“數列”，求數列的前項和；

（2）若數列為“數列”，且為整數，試問：是否存在數列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

由數列為“數列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數列通項公式即可求出,進而求出;

由題意得，，，兩式相減得，，

據此可得,當時,,進而可得,即數列為常數列,進而可得,結合，得到關于的不等式,再由時，且為整數即可求出符合題意的的所有值.

因為數列為“數列”，

所以，故，

兩式相減得，

在中令，則可得，故

所以，

所以數列是以為首項,以為公比的等比數列，

所以，因為，

所以.

（2）由題意得，故，

兩式相減得

所以，當時，

又因為

所以當時,

所以成立,

所以當時，數列是常數列，

所以

因為當時,成立,

所以，

所以

在中令，

因為，所以可得，

所以，

由時，且為整數，

可得,

把分別代入不等式

可得,，

所以存在數列符合題意,的所有值為.