Question

已知兩條直線a、b 與兩個平面α、β，b⊥α，則下列命題正確的是

①③④

①若a∥α，則a⊥b
②若a⊥b，則a∥α
③若b⊥β，則α∥β
④若α∥β，則b⊥β

Answer 1

分析：①利用線面平行的性質(zhì)判斷．②利用線面平行的判定定理判斷．③利用面面平行的判定定理判斷．④利用面面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定定理判斷．

解答：解：①∵b⊥α，∴若∥α，則有a⊥b，∴①正確．
②∵b⊥α，a⊥b，∴當(dāng)a?α?xí)r，結(jié)論成立，當(dāng)a?α?xí)r，結(jié)論不成立．
③∵b⊥α，若b⊥β，則根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，得α∥β，∴③正確．
④∵b⊥α，若α∥β，則根據(jù)一條直線如果垂直于兩個平行平面中的一個，則必垂直另外一個平面，∴b⊥β即④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查了空間直線和平面平行和垂直的性質(zhì)和判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．