Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2（a+2）x+a²．
（1）若關于x的方程f（x）=1有兩個正根，求a的取值范圍；
（2）若關于x的方程f（x）=1有兩個都大于2的根，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）關于x的方程即x²-2（a+2）x+a²-1=0，由題意可得△≥0，且x₁+x₂＞0，且且對稱軸x=a+2＞0，且h（0）=a²-1＞0，由此求得a的范圍．
（2）關于x的方程即g（x）=x²-2（a+2）x+a²-1=0，由題意可得△≥0，對稱軸x=a+2＞2，g（2）=a²-4a-5＞0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）關于x的方程f（x）=1即x²-2（a+2）x+a²-1=0．
令h（x）=x²-2（a+2）x+a²-1，
由題意可得△=4（a+2）²-4（a²-1）≥0，且對稱軸x=a+2＞0，且h（0）=a²-1＞0．
解得-

5

4

＜a＜-1，或 a＞1，
即a的范圍是{a|-

5

4

＜a＜-1，或a＞1}．
（2）關于x的方程f（x）=1即x²-2（a+2）x+a²-1=0，
令g（x）=x²-2（a+2）x+a²-1，
由題意可得△=4（a+2）²-4（a²-1）≥0，對稱軸x=a+2＞2，g（2）=a²-4a-5＞0，
解得 a≥5．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，韋達定理，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．