Question

已知動圓過定點D（1，0），且與直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C；
（2）過定點D（1，0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED=∠BED．

Answer 1

（1）由題知意：動圓圓心M的軌跡方程為：y²=4x，
∴動點M的軌跡C是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線
（2）①當直線l垂直于x軸時，根據拋物線的對稱性，有∠AED=∠BED；
②當直線L與X軸不垂直時，依題意，可設直線L的方程為y=k（x-1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x-1) y2=4x

消去x并整理，得ky²-4y-4k=0，y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4
則：k₁+k₂=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

y1(x2+1)+y2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 y1y22+ ′ 4 y2y12+y1+y2

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 y1y2(y2+y2)+(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

1 4 (-4)( 4 k )+ 4 k

(x1+1)(x2+1)

=0．
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=TAN∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

，∴∠AED=∠BED．
綜合①、②可知∠AED=∠BED．