Question

如圖，已知拋物線C：x²=2py（p＞0）與圓O：x²+y²=8相交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0（O為坐標原點），直線l與圓O相切，切點在劣弧AB（含A、B兩點）上，且與拋物線C相交于M、N兩點，d是M、N兩點到拋物線C的焦點的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）設點A的坐標為（x₁，y₁）（x₁＜0），
由于拋物線C和圓O關于y軸對稱，故點B的坐標為（-x₁，y₁）．
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁•（-x₁）+y₁²=0，
即-x₁²+y₁²=0．
∵點A在拋物線C上，
∴x₁²=2py₁．
∴-2py₁+y₁²=0，即y₁（-2p+y₁）=0．
∵y₁≠0，
∴y₁=2p．
∴x₁=-2p．
∴點A的坐標為（-2p，2p）．
∵點A在圓O上，
∴（-2p）²+（2p）²=8，又p＞0，解得p=1．
（Ⅱ）解法1：設直線l的方程為：y=kx+b，因為l是圓O的切線，則有

|k•0-0+b|

k2+1

=2

2

，
又b＞0，則b=2

2k2+2

．
即l的方程為：y=kx+2

2k2+2

．
聯立

y=kx+2 2k2+2 x2=2y.

即y2-(2k2+4

2k2+2

)y+8(k2+1)=0．
設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則yM+yN=2k2+4

2k2+2

．
如圖，設拋物線C的焦點為F，準線為L，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=2k2+4

2k2+2

+1．
令t=

2k2+2

，則2k²=t²-2．
∴d=t²+4t-1=（t+2）²-5．
又∵-1≤k≤1，
∴

2

≤t≤2．
∴當t=2時，d有最大值11．
當t=2時，k=±1，故直線l的方程為y=±x+4．
解法2：設直線l與圓O相切的切點坐標為（x₀，y₀），則切線l的方程為x₀x+y₀y=8．
由

x0x+y0y=8 x2=2y

消去x，得y₀²y²-（16y₀+2x₀²）y+64=0．
設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則yM+yN=

16y0+2 x 20

y 20

．
如圖，設拋物線C的焦點為F，準線為L，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=

16y0+2 x 20

y 20

+1．
∵x₀²=8-y₀²，d=

16y0+2(8- y 20 )

y 20

+1=

16

y 20

+

16

y0

-1=16(

1

y0

+

1

2

)2-5．
∵2≤y0≤2

2

，
∴當y₀=2時，d有最大值11．
當y₀=2時，x₀=±2，故直線l的方程為y=±x+4．