Question

設,函數.
試討論函數的單調性.

Answer 1

①當k=0時，F(x)在區間上單調遞增，F(x)在區間上單調遞減；
②當k<0時，F(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減,在區間
上單調遞增；③當時，F(x)在區間上單調遞減,在區間
上單調遞增,在區間上單調遞減.

分段函數要分段處理，由于每一段都是基本初等函數的復合函數，所以應該用導數來研究。
因為,所以.
(1)當x<1時，1-x>0，
①當時，在上恒成立，故F(x)在區間上單調遞增；
②當時，令，解得，
且當時，；當時，
故F(x)在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；
(2)當x>1時， x-1>0，
①當時，在上恒成立，故F(x)在區間上單調遞減；
②當時，令，解得，
且當時，；當時，
故F(x)在區間上單調遞減,在區間上單調遞增；
綜上得，①當k=0時，F(x)在區間上單調遞增，F(x)在區間上單調遞減；
②當k<0時，F(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減,在區間
上單調遞增；③當時，F(x)在區間上單調遞減,在區間
上單調遞增,在區間上單調遞減.