Question

已知圓

   （1）求證：當時，直線l與圓C恒有兩個不同的交點；

   （2）設l與圓交于A、B兩點，若的傾斜角；

   （3）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線。

Answer 1

解法一：

（1）直線而P（1，1）在圓內部（）

故當時，直線l與該圓恒有兩個不同的交點。

（2）如圖，作CM⊥AB于M，連CA。

當

而

在Rt△CAM中，

 

在Rt△CPM中，

從而AB的傾斜角為由圓的對稱性知，AB傾斜角還可為 

（3）M是AB的中點，

點軌跡是以線段CP為直徑的圓，其方程為

解法二：

（1）直線中，得

 ①

∴直線l與該圓恒有兩個不同的交點。

（2）由方程①，可知 

，即AB的傾斜角為

（3）設M的坐標為

  

即

軌跡為以為半徑的圓。