Question

【題目】已知圓，直線.

（1）證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；

（2）若直線與圓相交于，求時(shí)的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）或.

【解析】

（1）先由直線方程，求出直線所過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)與圓位置關(guān)系，即可判斷出結(jié)果；

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，根據(jù)題意，直接得出直線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，根據(jù)圓的半徑，弦長(zhǎng)的一半，以及點(diǎn)到直線的距離，三者滿足勾股定理，即可求出所求直線斜率，進(jìn)而可得直線方程.

（1）因?yàn)?/span>可化為，

由解得：，即直線恒過(guò)點(diǎn)；

又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)；

所以直線與圓恒交于兩點(diǎn)；

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，由（1）知恒過(guò)點(diǎn)，所以，將代入圓的方程得，此時(shí)滿足題意；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，即；

因?yàn)閳A圓心為，半徑；又弦長(zhǎng)，

設(shè)圓心到直線的距離為，

則，解得：，

所以的方程為：，即：.

故所求直線方程為：或.