Question

如圖所示，某人想制造一個支架，它由四根金屬桿構成，其底端三點均勻地固定在半徑為的圓上（圓在地面上），三點相異且共線，與地面垂直. 現要求點到地面的距離恰為，記用料總長為，設．

（1）試將表示為的函數，并注明定義域；
（2）當的正弦值是多少時，用料最省？

Answer 1

（1），；（2）．

試題分析：（1）由已知三點相異且共線，與地面垂直，且三點均勻地固定在半徑為的圓上，所以是全等的直角三角形，從而有，進而可得，再由點到地面的距離恰為得；從而由可將Ｌ表示為的函數；其定義域由圖形可知：，而當ＰＨ最短時角為最大，但由于三點相異，所以小于該最大值，從而求得其定義域；（2）用料最省，即L取得最小值；由（1）的函數利用導數方法來求使其取得最小值的的值：先求出L的導函數，再令其等于零求出對應的的值，再討論函數的單調性就可確定的值．
試題解析：（1）因與地面垂直，且，則是全等的直角三角形，又圓的半徑為3，
所以，，                               3分
又，所以，                        6分
若點重合，則，即，所以，
從而，.                                   7分
（2）由（1）知，
所以，當時，，                             11分
令，，當時，；當時，；
所以函數L在上單調遞減，在上單調遞增，                       15分
所以當，即時，L有最小值，此時用料最省.                     16分