Question

【題目】已知函數，.

（1）證明：的導函數在區間上存在唯一零點；

（2）若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.

注：復合函數的導函數.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）設，則，．求出函數的導數，得到函數的單調區間，然后轉化求解函數的零點．

（2）利用導數求出在區間上的最大值，在區間上的最大值，通過求實數的取值范圍.

解：（Ⅰ）設，則，

.

當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增.

又，，，

故在區間上存在唯一零點.

（Ⅱ）記在區間上的最大值為，在區間上的最大值為.

依題意，“對任意，均存在，使得”等價于“”.

由（Ⅰ）知，在只有一個零點，設為，

且當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增.

又，，所以當時，.

故應滿足.

因為，所以.

①當時，，對任意，，不滿足.

②當時，令，得或.

（i）當，即時，在上，，所以在上單調遞增，.

由，得，所以.

（ii）當，即時，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減．.

由，得或，所以.

（iii）當，即時，顯然在上，，單調遞增，于是，此時不滿足.

綜上，實數的取值范圍是．