Question

【題目】已知拋物線P：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)作直線與拋物線P相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，．

（1）求的值；

（2）是否存在常數(shù)a，當(dāng)點(diǎn)M在拋物線P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線都與以MF為直徑的圓相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，0.

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出以MF為直徑的圓的圓心與半徑，根據(jù)直線與圓相切得圓心到切線的距離等于半徑得對(duì)恒成立，從而求出a的值．

（1）法一：依題意過點(diǎn)的直線可設(shè)為，

由，得，

設(shè)，，則，

∴；

（2）存在．

∵F是拋物線P的焦點(diǎn)，∴．

設(shè)，則MF的中點(diǎn)為，．

∵直線與以MF為直徑的圓相切的充要條件是到直線的距離等于，即，

∴．

∵對(duì)于拋物線P上的任意一點(diǎn)M，直線都與以MF為直徑的圓相切，

∴關(guān)于x的方程對(duì)任意的都要成立．

∴解得．

∴存在常數(shù)a，并且僅有滿足“當(dāng)點(diǎn)M在拋物線P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線都與以MF為直徑的圓相切”．