Question

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b= ，求△ABC面積的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，

因?yàn)樵谌�角形中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），

所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，

所以cosBsinC=sinCsinB，

因?yàn)镃∈（0，π），sinC≠0，

所以cosB=sinB，即tanB=1，

因?yàn)锽∈（0，π），

所以B= ，即A+C=

（2）解：由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，

所以 ，

所以 ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=c即 時(shí)“=”成立．

而 ，

所以△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得cosBsinC=sinCsinB，由于sinC≠0，可求tanB=1，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可得解A+C的值．（2）由已知及余弦定理可求 ，利用基本不等式可求 ，利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:．