Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；

（2）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范圍；

∵為數列的前項和，為數列的前項和.

∴只需證明 即可.

試題解析：

（1）由，得 .

整理，得恒成立，即.

令.則.

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數的最小值為.

∴，即.

∴的取值范圍是.

（2）∵為數列的前項和，為數列的前項和.

∴只需證明 即可.

由（1），當時，有，即.

令，即得 .

∴ .

現證明，

即 .

現證明.

構造函數 ，

則 .

∴函數在上是增函數，即.

∴當時，有，即成立.

令，則式成立.

綜上，得 .

對數列，，分別求前項和，得

.