Question

【題目】已知函數， .

（1）求過點的的切線方程；

（2）當時，求函數在的最大值；

（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數的底數， ）.

Answer 1

【答案】（1），（2）當時， 的最大值為；

當時， 的最大值為；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）設出切點坐標，表示出切線方程，代入點的坐標，求出切線方程即可；

（2）求出函數的導數，求出函數的單調區間，求出F（x）的最大值即可；

（3）問題可化為m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x，設，要證m≥﹣3時m＞h（x）對任意均成立，只要證h（x）max＜﹣3，根據函數的單調性證明即可．

試題解析：

解：（1）設切點坐標為，則切線方程為，

將代入上式，得， ，

∴切線方程為；

（2）當時， ， ，

∴， ，

當時， ，當時， ，

∴在遞增，在遞減，

∴當時， 的最大值為；

當時， 的最大值為；

（3）可化為，

設， ，要證時對任意均成立，只要證，下證此結論成立.

∵，∴當時， ，

設，則，∴在遞增，

又∵在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，

且， ，

∴使得，即， ，

當時， ；當時， ， ；

∴函數在遞增，在遞減，

∴ ，

∵在遞增，∴，即，

∴當時，不等式對任意均成立.