Question

【題目】(本小題滿分12分) 函數f(x)是定義在R上的偶函數,已知當x≤0時,f(x)=x2+4x+3.

（1）求函數f(x)的解析式;

（2）畫出函數的圖象，并寫出函數f(x)的單調區間;

（3）求f(x)在區間[-1,2]上的值

Answer 1

【答案】(1) (2)詳見解析（3）

【解析】試題分析：（1）設，則，利用當時， ，結合函數為偶函數，即可求得函數解析式；（2）根據圖象，可得函數的單調遞增區間；（3）確定函數在區間上的單調性，求出函數 的最值，從而可得函數在區間上的值域.

試題解析：(1)因為函數f(x)是定義在R上的偶函數,所以對任意的x∈R都有f(-x)=f(x)成立,

所以當x>0時,-x<0,即f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)+3=x2-4x+3,

所以f(x)=

（2）

函數圖象如圖，由圖知函數f(x)的單調遞增區間為[-2,0]和[2,+∞). 單調遞減區間為（-∞, -2]和[0，2] .

（3）由②知函數f(x)在[-1,0]上單調遞增,所以f(-1)≤f(x)≤f(0),

即0≤f(x)≤3;在區間[0,2]上單調遞減,

所以f(2)≤f(x)≤f(0),即-1≤f(x)≤3,

所以函數f(x)在區間[-1,2]上的值域為[-1,3].

【方法點晴】本題主要考查函數的奇偶性、函數的解析式、函數的單調性，屬于中檔題.函數單調性的應用比較廣泛，是每年高考的重點和熱點內容．歸納起來，常見的命題探究角度有：（1）求函數的值域或最值；（2）比較兩個函數值或兩個自變量的大��；（3）解函數不等式；（4）求參數的取值范圍或值．