Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．
（1）求角C；
（2）若△ABC的最短邊長是

5

，求最長邊的長．

Answer 1

分析：（1）由tanA的值，根據A的范圍，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinA和cosA的值，同時由cosB的值，由B的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，然后根據誘導公式得cosC等于-cos（A+B），利用兩角和的余弦函數公式化簡，將各自的值代入即可求出cosC的值，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到角C的度數；
（2）由sinA的值大于sinB的值，得到角A大于角B，即可得a大于b，得到b為最短的邊，然后利用正弦定理，由b，sinB及sinC的值即可求出最長邊c的值．

解答：解：（1）∵tanA=

1

2

，
∴A為銳角，則cosA=

2 5

5

，sinA=

5

5

．
又cosB=

3 10

10

，∴B為銳角，則sinB=

10

10

，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB
=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

．
又C∈（0，π），
∴C=

3

4

π．
（2）∵sinA=

5

5

＞sinB=

10

10

，
∴A＞B，即a＞b，
∴b最小，c最大，
由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

，
得c=

sinC

sinB

•b=

2 2

10 10

•

5

=5．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系、誘導公式及正弦定理化簡求值，是一道綜合題．