Question

【題目】已知橢圓 =1的一個焦點為F（2，0），且離心率為
（1）求橢圓方程；
（2）過點M（3，0）作直線與橢圓交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意有c=2， = ，又a2=b2+c2，

可得a2=6，b2=2．

故橢圓方程為 =1．

（2）解：由題意可知過點M的直線斜率存在且不等于0，設直線方程為y=k（x﹣3）．

聯立方程組 ，消去x得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∴S△OAB= |OM||y1﹣y2|= ×3×

= 3 =3 =3 ，

令3k2+1=t≥1，則S△OAB=3 =3 ≤ ，當且僅當t= ，即k2= ，k= 時取等號．

∴△OAB面積的最大值為 ．

【解析】（1）依題意有c=2， = ，又a2=b2+c2，聯立解出即可得出．（2）由題意可知過點M的直線斜率存在且不等于0，設直線方程為y=k（x﹣3）．與橢圓方程聯立可得（1+3k2）y2+6ky+3k2=0，利用根與系數的關系可得：S△OAB= |OM||y1﹣2|=3 =3 ，令3k2+1=t≥1，可得S△OAB=3 =3 ，利用二次函數的單調性即可得出．