Question

【題目】已知函數f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若 ，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x≥0時，不等式f（x）≤ex恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a= 時，f（x）= xln（x+1）+x+1，

f′（x）= [ln（x+1）+1﹣ ]+1，

∵f′（x）在（﹣1，+∞）遞增，且f′（﹣1+ ）=0，

故x∈（﹣1，﹣1+ ）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，

x∈（﹣1+ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞減，

故f（x）在（﹣1，﹣1+ ）遞減，在（﹣1+ ，+∞）；

（2）解：記g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，

則g′（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

記h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

h′（x）=a[ + ]﹣ex，h′（0）=2a﹣1，

①a≤ 時，∵ + ∈（0，2]，ex≥1，

∴h′（x）≤0，h（x）在（0，+∞）遞減，

則h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）遞減，

∴g（x）≤g（0）=0恒成立，即f（x）≤ex恒成立，滿足題意；

②a≥ 時，h′（x）在（0，+∞）遞減，

又h′（0）=2a﹣1＞0，x→+∞時，h′（x）→﹣∞，

則必存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，

則x∈（0，x0）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）遞增，

此時h（x）＞h（0）=0，

x∈（0，x0）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞ex，不合題意，

綜上，a≤ ．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）記g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，求出函數的導數，記h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，通過討論a的范圍，求出函數的單調性，從而確定a的具體范圍即可．