Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1= an+t，a1= （t為常數，且t≠ ）．
（1）證明：{an﹣2t}為等比數列；
（2）當t=﹣ 時，求數列{an}的前幾項和最大？
（3）當t=0時，設cn=4an+1，數列{cn}的前n項和為Tn ， 若不等式 ≥2n﹣7對任意的n∈N*恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}滿足an+1= an+t，a1= （t為常數，且t≠ ），

∴ ，

∴ = ，

又a1﹣2t= ，

∴{an﹣2t}是以 為首項，以 為公比的等比數列

（2）解：當t=﹣ 時，{an+ }是以 為首項，以 為公比的等比數列，

∴ ，

∴ ，

由 ≥0，解得n≤2．

∴數列{an}的前2項和最大

（3）解：當t=0時，∴{an}是以 為首項，以 為公比的等比數列，∴an= ，

cn=4an+1= +1，

∴數列{cn}的前n項和：

Tn= =4+n﹣ ，

∵不等式 ≥2n﹣7對任意的n∈N*恒成立，

∴3k≥ 對任意的n∈N*恒成立，

設 ，由dn+1﹣dn= = ，

∴當n≤4時，dn+1＞dn，

當n≥4時，dn+1＜dn，

∵ ，

∴3k ，解得k ．

∴實數k的取值范圍是[ ）

【解析】（1）由已知得 ，由此能證明{an﹣2t}是以 為首項，以 為公比的等比數列．（2）當t=﹣ 時，{an+ }是以 為首項，以 為公比的等比數列，求出 ，由此能求出數列{an}的前幾項和最大．（3）當t=0時，an= ，cn=4an+1= +1，從而Tn=4+n﹣ ，由不等式 ≥2n﹣7對任意的n∈N*恒成立，得到3k≥ 對任意的n∈N*恒成立，由此能求出實數k的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．