Question

已知函數f（x）=x²+2ax+4
（1）當a=-1時，求函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值；
（2）若函數f（x）在區間[-1，3]上有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）配方得f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，根據性質得出最大值：f（-2）=12，
（2）分類討論函數f（x）在區間[-1，3]上有且只有1個零點，函數f（x）在區間[-1，3]上有2個零點，根據函數性質的才不等式組求解即可．

解答： 解：（1）∵當a=-1時，f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∴函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值：f（-2）=12，
（2）①函數f（x）在區間[-1，3]上有且只有1個零點，
（i）△=4a²-16=0，∴a=±2，
當a=2時，函數f（x）=x²-2x+4的零點為x=-2∉[-1，3]，
當a=-2時，函數f（x）=x²-2x+4的零點為x=2∈[-1，3]，
∴a=-2
（ii）當零點分別為-1，或3時，a的值分別為

5

2

或-

13

6

（ⅲ）f（-1）•f（3）＜0，得（-2a+5）（6a+13）＜0解得 a＞

5

2

或a＜-

13

6

②函數f（x）在區間[-1，3]上有2個零點，

-1＜-a＜3 △=4a2-16＞0 f(-1)≥0 f(3)≥0

，
解得：

-3＜a＜1 a＞2，或a＜-2 a≤ 5 2 a≥- 13 6

即-

13

6

≤a＜-2，
由①②得實數a的取值范圍：a≤-2或a≥

5

2

點評：本題綜合考查了函數的性質，在解決函數零點問題中的應用，注意分類討論，屬于中檔題．