Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC的中點，PA=AD=AB=1．
（1）證明：BE∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）根據線面平行的判定定理即可證明：BE∥平面PAD；
（2）根據線面垂直的判定定理證明：BE⊥平面PDC；

解答： 解：（1）證明：取PD中點Q，連結AQ、EQ．
∵E為PC的中點，
∴EQ∥CD且EQ=

1

2

CD．
又∵AB∥CD且AB=

1

2

CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AQ．
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ．
∵PA=AD，Q為PD的中點，
∴AQ⊥PD，
∵CD∩PD=D，∴AQ⊥平面PDC．
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PDC．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理．考查學生的推理能力．