Question

（2006•廣州一模）如圖，長度為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個半平面內，A∈α，B∈β，
且AB與平面α、β所成的角都是30°，AC⊥l，垂足為C，BD⊥l，垂足為D．
（Ⅰ）求直線AB與CD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據AC⊥β以及常用的結論：cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB即可求出結果；
（Ⅱ）先建立空間直角坐標系，得到各對應點的坐標，進而求出兩個平面的法向量的坐標，最后代入向量夾角計算公式即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，連接BC，設直線AB與CD所成的角為θ，則由AC⊥β知：cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB=cos30°•

2

3

=

2

2

，
故θ=45°；
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A(0，

2

，1)，B（1，0，0），C(0，

2

，0)，
所以

CA

=(0，0，1)，

CB

=(1，-

2

，0)，設

n1

=(x，y，z)是平面ABC的法向量，則

CA • n1 =z=0 CB • n1 =x- 2 y=0

⇒可以取

n1

=(

2

，1，0)．
同理，

n2

=(0，1，-

2

)是平面ABD的法向量．
設二面角C-AB-D所成的平面角為γ，則顯然γ是銳角，從而有cosγ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

1

3 × 3

=

1

3

．

點評：本小題主要考查空間直線所成的角以及二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．用空間向量求二面角問題的關鍵在于求出兩個平面的法向量．