Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證數列{a_n}中不存在任意三項按原來順序成等差數列；
（3）若從數列{a_n}中依次抽取一個無限多項的等比數列，使它的所有項和S滿足

4

61

＜S＜

1

13

，這樣的等比數列有多少個？

Answer 1

分析：（1）利用已知前n項和求通項公式的方法求出a₁=1，an+1=

1

2

an即可得數列{a_n}的通項公式；
（2）用反證法．先假設存在三項按原來順序成等差數列，利用等差中項：x，A，y成等差數列?2A=x+y，推出矛盾即可．
（3）設抽取的等比數列首項為

1

2m

，公比為

1

2n

，項數為k，對其求和找到：2m-2m-n＜

61

4

．再利用m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，找到對應的m，n，k，即可求出對應的等比數列．

解答：解：（1）當n=1時，a₁+S₁=2a₁=2，則a₁=1．
又a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，兩式相減得an+1=

1

2

an，
∴{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，
∴an=

1

2n-1

（4分）
（2）反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
則2•

1

2q

=

1

2p

+

1

2r

，∴2•2^r-q=2^r-p+1（*）
又∵p＜q＜r∴r-q，r-p∈N^*
∴*式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立∴假設不成立原命題得證．（8分）

（3）設抽取的等比數列首項為

1

2m

，公比為

1

2n

，項數為k，
且滿足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
則S=

1 2m

1- 1 2n

[1-(

1

2n

)k]＜

1 2m

1- 1 2n

又∵

4

61

＜S＜

1

13

∴

1 2m

1- 1 2n

＞

4

61

整理得：2m-2m-n＜

61

4

①
∵n≥1∴2^m-n≤2^m-1．
∴2m-1≤2m-2m-n＜

61

4

∴m≤4∵S＜

1

13

∴

1

2m

＜

1

13

∴m≥4∴m=4將m=4代入①式整理得2n＜

64

3

∴n≤4
經驗證得n=1，2不滿足題意，n=3，4滿足題意．
綜上可得滿足題意的等比數列有兩個．（16分）

點評：本題是對等差數列和等比數列的綜合考查，是道綜合性很強的好題．其中第一問涉及到已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式．已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項公式為分段函數．