Question

如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上的點．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）祥見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）要證平面PAC⊥平面PBC，只要證明平面PBC經過平面PAC的一條垂線BC即可，利用題目給出的條件借助于線面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC；

（2）因為平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC內過C作兩面的郊縣AB的垂線，然后過垂足再作PB的垂線，連結C和后一個垂足即可得到二面角C-PB-A的平面角，然后在作出的直角三角形中通過解直角三角形即可求得二面角C-PB-A的余弦值．也可建立空間直角坐標系，用向量知識來求解．

試題解析：（1）面 又 面 面面；

（2）法一：過作于，于，連結．顯然面，由三垂線定理可得，即為所求角．， ．

法二：以為原點，所在的直線分別為軸，直線所在方向為軸。

則 于是

，面的一個法向量為，面的一個法向量為

由題知，所求二面角的余弦值為．

考點：１．平面與平面垂直的判定；２．二面角的平面角及其求法．