Question

【題目】已知圓經過點、，并且直線平分圓.

（1）求圓的方程；

（2）若過點，且斜率為的直線與圓有兩個不同的交點、.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出線段的垂直平分線方程，將線段的垂直平分線方程與直線的方程聯立，可圓心的坐標，求出半徑，即可得出圓的標準方程；

（2）（i）將直線的方程表示出來，利用圓心到直線的距離小于半徑得出的不等式，即可得出實數的取值范圍；

（ii）設點、，令，可得出直線的方程為，將直線的方程與圓的方程聯立，列出韋達定理，將韋達定理代入，可求出的值，進而可得出的值.

（1）線段的中點，直線的斜率為，

故線段的中垂線方程為，即.

因為圓經過、兩點，故圓心在線段的中垂線上.

又因為直線平分圓，所以直線經過圓心.

聯立，解得，即圓心的坐標為，而圓的半徑，

所以圓的方程為：；

（2）直線的方程為，即，

圓心到直線的距離.

（i）題意得，兩邊平方整理得，解得或.

因此，實數的取值范圍為：；

（ⅱ）令，則直線的方程可寫成.

將直線的方程與圓的方程組成方程組得，

將①代入②得：，

設、，則由根與系數的關系可得，，

而，

所以，

整理得，解得，則.

，舍去.

綜上所述，.