Question

【題目】已知函數，.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）證明：當時，曲線恒在曲線的下方；

（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）求出,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；(2)要使得當時，曲線恒在曲線的下方，即需證，不妨設， 則，利用導數證明取得最大值即可得結果；(3)由題意可知，可得不等式可轉化為，構造函數，分類討論，利用導數研究函數的單調性，可證明的最大值小于零，從而可得結論.

（1），，

故切線方程是.

(2)要使得當時，曲線恒在曲線的下方，

即需證，

不妨設， 則，

，

令，恒成立，^

在單調遞減，v

又時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，取得最大值，

當時，，即，

當時，曲線恒在曲線的下方，

(3)由題意可知，

不等式可轉化為，

構造函數，

，

在二次函數中，開口向下，對稱軸，

且過定點，解得，

得(舍去），.

①當時，即 (舍去）或，

此時當時，； 時,；

當時，取得最大值，

記為，

由得，

，

而，

當時，，即在上遞減，

當時，，即在上遞增，

在處取得最小值，

只有符合條件，此時解得 ，不合條件，舍去;

②當時，解得，

當時，在時取得最大值，

即當時，恒成立，原不等式恒成立；

③當時，解得，

當時，，

在時取得最大值，記為，

由（2)可知的圖象與的圖象相同，

當時，，原不等式恒成立；

綜上所述，實數的取值范圍是.