Question

（2013•崇明縣二模）已知橢C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）利用以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

，建立方程，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（2）當斜率l不存在時，過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB不被點Q平分；當直線l的斜率為k時，設方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（1）∵以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

．
∴2a+2c=4+2

3

，

3

2

a=c，
∴a=2，c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB不被點Q平分；
當直線l的斜率為k時，l：y-

1

2

=k（x-1）與橢圓方程聯立，消元可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
∵過點Q（1，

1

2

）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，
∴

4k(2k-1)

1+4k2

=2，
∴解得k=-

1

2

．
∵

1

4

+

1

4

＜1
∴點Q在橢圓內
∴直線l：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即l：y=-

1

2

x+1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦中點問題，正確運用韋達定理是關鍵．