Question

甲、乙兩班參加數(shù)學(xué)知識競賽，每班出3人組成代表隊(duì)，每人一道必答題，答對為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答得0分，假如甲隊(duì)每人答對的概率均為

2

3

，乙隊(duì)3人答對的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，且每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列與均值E（ξ）；
（Ⅱ）用A表示事件“甲、乙兩隊(duì)得分和為3”，B表示事件“甲隊(duì)得分大于乙隊(duì)得分”，求P（AB）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列與均值E（ξ）；
（Ⅱ）“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”和“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”同時(shí)滿足，有兩種情況：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”這兩個(gè)事件互斥，分別求概率，再取和即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且P（ξ=0）=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

所以ξ的分布列為

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2；
（Ⅱ）用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，
所以AB=C∪D，且C，D互斥，
又P（C）=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×（

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

）=

10

34

P（D）=

C

3 3

×(

2

3

)3×

1

3

×

1

3

×

1

2

=

4

35

由互斥事件的概率公式得P（AB）=P（C）+P（D）=

10

34

+

4

35

=

34

243

．

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．