Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4

3

，AB=2CD=8．
（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）當M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明平面MBD內的直線BD垂直平面PAD，即可證明平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）M點位于線段PC靠近C點的三等分點處，證明PA∥MN，MN?平面MBD，即可證明PA∥平面MBD．
（Ⅲ）過P作PO⊥AD交AD于O，說明PO為四棱錐P-ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面積，然后求四棱錐P-ABCD的體積．

解答：證明：（Ⅰ）在△ABD中，
∵AD=4，BD=4

3

，AB=8，∴AD²+BD²=AB²．
∴AD⊥BD．（2分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，PA∥平面MBD．（5分）
證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN．
∵AB∥DC，所以四邊形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．
又∵CM：MP=1：2，
∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）
∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）過P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
即PO為四棱錐P-ABCD的高．（11分）
又∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO=

3

2

×4=2

3

．（12分）
在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為

4×4 3

8

=2

3

，此即為梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面積SABCD=

4+8

2

×2

3

=12

3

．（14分）
故VP-ABCD=

1

3

×12

3

×2

3

=24．（15分）

點評：本題考查棱柱的結構特征，平面與平面垂直的判定，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，以及計算能力，是中檔題．