Question

已知x+y=1（x＞0，y＞0），求

1

x

+

2

y

的最小值，請仔細閱讀下列解法，并在填空處回答指定問題：
解析：∵x+y=1，令x=cos²θ，y=sin²θ，
則

1

x

+

2

y

=

1

cos2θ

+

2

sin2θ

=tan²θ+2cot²θ+3≥3+2

2

．
①指出運用了

 

數學方法；
②指出θ的一個取值范圍

 

；
③指出x、y的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是簡單的演繹推理，根據利用基本不等式求

1

x

+

2

y

的最小值的解題過程對3個問題逐一判斷即可得到答案．

解答：解：由于題中：“令x=cos²θ，y=sin²θ”，是利用三角函數中的平方關系進行換元，
故①處填：換元法；
由于換元后要保證x＞0，y＞0，故可考慮θ的一個取值范圍是銳角，
故②處填：θ∈（0，

π

2

）；
考慮到使得：“tan²θ+2cot²θ+3≥3+2

2

”中等號成立，
必須滿足：tanθ=2cotθ，即tanθ=

2

，
由三角函數的同角公式得：x=2

2

-1，y=2-

2

，
故③處填：x=2

2

-1，y=2-

2

時，

1

x

+

2

y

取得最小值3+2

2

．
故答案為：換元法；θ∈（0，

π

2

）；x=2

2

-1，y=2-

2

時，

1

x

+

2

y

取得最小值3+2

2

．

點評：演繹推理又稱三段論推理，是由兩個前提和一個結論組成，大前提是一般原理（規律），即抽象得出一般性、統一性的成果；小前提是指個別對象，這是從一般到個別的推理，從這個推理，然后得出結論．又稱從規律到現象的推理．