Question

（2013•海淀區一模）已知函數y=f（x），任取t∈R，定義集合：A_t={y|y=f（x）}，點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤

2

．設M_t，m_t分別表示集合A_t中元素的最大值和最小值，記h（t）=M_t-m_t．則
（1）若函數f（x）=x，則h（1）=

2

；
（2）若函數f（x）=sin

π

2

x，則h（t）的最小正周期為

2

．

Answer 1

分析：（1）若函數f（x）=x，則點P（t，t），Q（x，x），根據|PQ|≤

2

，求得 1-t≤x≤t+1，即M_t =1+t，m_t =1-t，由此可得h（1）的值．
（2）若函數f（x）=sin

π

2

x，畫出函數的圖象，分析點P在曲線上從A接近B，從B接近C，從C接近D時，從D接近E時，h（t）值的變化情況，從而得到 h（t）的最小正周期．

解答：解：（1）若函數f（x）=x，則 點P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|≤

2

，∴

(x-t)2+(x-t)2

≤

2

，
化簡可得|x-t|≤1，-1≤x-t≤1，即 1-t≤x≤t+1，即M_t =1+t，m_t =1-t，∵h（t）=M_t-m_t ，
h（1）=（1+1）-（1-1）=2．
（2）若函數f（x）=sin

π

2

x，此時，函數的最小正周期為

2π

π 2

=4，點P（t，sin

πt

2

），Q（x，sin

πx

2

），
如圖所示：當點P在A點時，點O在曲線OAB上，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
當點P在曲線上從A接近B時，h（t）逐漸增大，當點P在B點時，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
當點P在曲線上從B接近C時，h（t）逐漸見減小，當點P在C點時，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
當點P在曲線上從C接近D時，h（t）逐漸增大，當點P在D點時，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
當點P在曲線上從D接近E時，h（t）逐漸見減小，當點P在E點時，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
…依此類推，發現 h（t）的最小正周期為2，
故答案為 2．

點評：本題主要考查函數的周期性，體現了數形結合以及分類討論的數學思想，屬于基礎題．