Question

已知函數f(x)=

lnx

x

，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設a＞0，求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域，再求導，確定函數的單調區間；
（2）函數在閉區間上的最值，注意極值點是否在定義域內，分類討論，極值與區間端點函數值=比較大小．

解答：解：（1）定義域為（0，+∞），f′(x)=

1-lnx

x2

，令f′(x)=

1-lnx

x2

=0，則x=e，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）的單調增區間為（0，e）；單調減區間為（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，所以，
當4a≤e時，即0＜a≤

e

4

時，f（x）在[2a，4a]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（2a）=

ln(2a)

2a

；
當2a≥e時，即a≥

e

2

f（x）在[2a，4a]上單調遞減，∴f（x）_min=f（4a）=

ln(4a)

4a

當2a＜e＜4a時，即

e

4

＜a＜

e

2

時，f（x）在[2a，e]上單調遞增，f（x）在[e，4a]上單調遞減，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．下面比較f（2a），f（4a）的大小，
∵f(2a)-f(4a)=

lna

4a

，
∴若

e

4

＜a≤1，則f（a）-f（2a）≤0，此時f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
若1＜a＜

e

2

，則f（a）-f（2a）＞0，此時f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

；
綜上得：當0＜a≤1時，f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
當a＞1時，f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

．

點評：（2）利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，本題對參數的討論是難點，體現了分類討論的數學思想方法．