Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓經過，，，三點，是線段上的動點，，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點，交圓于、兩點．

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數，求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出圓心與半徑，設方程為：，因為，則直線到圓心的距離，即可求直線 的方程.

（2）設，由點在線段上，得，因為，所以.

依題意知，線段與圓至多有一個公共點，所以，由此入手求得三角形的面積的最小值

解：（1）由題意可知，圓的直徑為，所以圓方程為：.

設方程為：，則，解得，，

當時，直線與軸無交點，不合，舍去．

所以，此時直線的方程為.

（2）設，由點在線段上，得，即.

由，得.

依題意知，線段與圓至多有一個公共點，

故，解得或.

因為是使恒成立的最小正整數，所以.

所以圓方程為：

(i) 當直線時，直線的方程為，此時，

(ii) 當直線的斜率存在時，

設的方程為：，則的方程為：，點.

所以 .

又圓心到的距離為，所以

故

因為，所以.