Question

【題目】設函數f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3 ， 其中a＞0．
（1）討論f（x）在其定義域上的單調性；
（2）當x∈[0，1]時，求f（x）取得最大值和最小值時的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，

由f′（x）=0，得x1= ，x2= ，x1＜x2，

∴由f′（x）＜0得x＜ ，x＞ ；

由f′（x）＞0得 ＜x＜ ；

故f（x）在（﹣∞， ）和（ ，+∞）單調遞減，

在（ ， ）上單調遞增；

（2）解：∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，當 時，即a≥4

①當a≥4時，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上單調遞增，∴f（x）在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．

②當0＜a＜4時，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]單調遞增，在[x2，1]上單調遞減，

因此f（x）在x=x2= 處取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴當0＜a＜1時，f（x）在x=1處取得最小值；

當a=1時，f（x）在x=0和x=1處取得最小值；

當1＜a＜4時，f（x）在x=0處取得最小值．

【解析】（1）利用導數判斷函數的單調性即可；（2）利用（1）的結論，討論兩根與1的大小關系，判斷函數在[0，1]時的單調性，得出取最值時的x的取值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．