Question

已知函數的導數為實數，.（Ⅰ）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）

的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數．

Answer 1

（本小題滿分15分）

       已知函數的導數為實數，.

（Ⅰ）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數．

答案：解（Ⅰ）由已知得，

 由，得，．∵，，

∴ 當時，，遞增；

當時，，遞減．

∴ 在區間上的最大值為，∴．……………………………2分

又，，∴ ．

，即，得．

故，為所求．                          ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．

⑴ 當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．  ………………………………5分

⑵當切點不是切點時，設切點為，切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切線的方程為．…8分

故所求切線的方程為或．       ………………………………9分

（ 或者：由（1）知點A（0，1）為極大值點，所以曲線的點A處的切線為，恰好經過點，符合題意．）

（Ⅲ）解： ．

∴

．       ………………………………11分

二次函數的判別式為

，

令，得：

令，得     ………………………………13分

∵，，

∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；…14分

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點．                  ………………………………16分