Question

已知函數的導數為實數，.

（Ⅰ）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數．

Answer 1

（Ⅰ）， 

      （Ⅱ）切線的方程為或．

      （Ⅲ）函數有兩個極值點

解析:

（Ⅰ）由已知得，, 由，得，．

∵，，∴ 當時，，遞增；當時，， 遞減．∴ 在區間上的最大值為，∴．

又，，∴ ．

由題意得，即，得． 故，為所求．                       

（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．

⑴ 當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．

⑵當切點不是切點時，設切點為，切線的斜率，

∴ 的方程為 ．又點在上，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切線的方程為．

故所求切線的方程為或．

（Ⅲ）解： ．

∴ ．  

二次函數的判別式為

，令，

得：令，得  

∵，，∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，

可知函數有兩個極值點．