Question

設橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，點M是橢圓上的一點，且點M到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C上一動點P（x₀，y₀）關于直線y=x的對稱點為P₁（x₁，y₁），求4x₁-3y₁的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義以及橢圓的離心率，求解a，b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用橢圓C上一動點P（x₀，y₀）關于直線y=x的對稱點為P₁（x₁，y₁），求出x₁-，與y₁的范圍，即可求解4x₁-3y₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意知，2a=4，∴a=2，
∵e=

c

a

=

2

2

，c=

2

，b=

a2-c2

=

2

．
∴所求橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵點P（x₀，y₀）關于直線y=x的對稱點為P₁（x₁，y₁），
∴點P₁的坐標為P₁（y₀，x₀）即

x1=y0 y1=x0

∵點P（x₀，y₀）在橢圓C：

y2

4

+

x2

2

=1上，∴-

2

≤x0≤

2

，-2≤y₀≤2
則-

2

≤y1≤

2

，-2≤x₁≤2
∴4x₁-3y₁的取值范圍為[-8-3

2

，8+3

2

]．…（10分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，對稱知識的應用，以及橢圓的基本性質，考查計算能力．