Question

（本小題滿分16分）
已知函數．
（1）當時，若函數在上為單調增函數，求的取值范圍；
（2）當且時，求證：函數f (x)存在唯一零點的充要條件是；
（3）設，且，求證：<．

Answer 1

（1）是 ．（2）在時，在上有唯一解的充要條件是．
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用單調性確定參數的取值范圍，和零點的問題，及不等式的證明綜合運用。
（1）因為函數．
，當時，若函數在上為單調增函數，則其導數恒大于等于零，得到的取值范圍；
（2）當且時，運用導數的思想判定函數的單調性，確定函數f (x)存在唯一零點的充要條件是；
（3）因為，且，要證：<，采用分析法的思想來證明該不等式。
（1）當b=1時，.
因為在上為單調遞增函數，所有在上恒成立，
即在上恒成立，
當時，由，得．
設，，當且僅當時，等號成立．
即時，有最小值2，所以，解得．
所有a的取值范圍是 ．                   …………………………4分
（2）．
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增．
綜上所述，的單調遞減區間為；的單調遞增區間為．                                      
①充分性：時，在處有極小值也是最小值，
即．在上有唯一的一個零點．
②必要性：f(x)=0在上有唯一解，且， f(a)=0，即．
令， ．
當時，，在上單調遞增；當時，，
在上單調遞減．，只有唯一解．
在上有唯一解時必有．                         
綜上，在時，在上有唯一解的充要條件是．…………10分
（3）不妨設>n>0，則>1，要證<，
只需要<，即證>，只需證>0，
設，由（1）知，在上是單調增函數，又>1，有>，即>0成立，所以<． ………16分