Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，將離心率公式與短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離公式聯(lián)立，可求得的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分為兩種情況，一種為直線不存在斜率，很容易得出結(jié)果，一種為存在斜率，則設(shè)直線方程為，并設(shè)與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，然后再根據(jù)，利用韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可得與的關(guān)系，進(jìn)而可知原點(diǎn)到直線的距離為定值.

試題解析：（1）由題意知，，，又，

所以，，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.

此時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.

由得

則，

，

則，由得，即，

所以，即，

所以原點(diǎn)到直線的距離為

綜上，原點(diǎn)到直線的距離為定值.