Question

【題目】設橢圓的離心率為，左頂點到直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點O，試探究：點O到直線AB的距離是否為定值？若是，求出這個定值；否則，請說明理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB面積S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】

（Ⅰ）由已知，根據點到直線的距離公式，求解，再由橢圓的離心率，求得，進而可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）法一：設，，①當直線l的斜率不存在時，求得點O到直線AB的距離為定值；②當直線l的斜率存在時，設其方程為聯立方程組，根據根與系數的關系和題設條件，化簡得，進而求得點O到直線AB的距離為定值.

法二：設直線方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系和題設條件，化簡得，進而得到點O到直線AB的距離為定值；

（Ⅲ）法一：當直線OA、直線OB斜率存在且不為0時，設直線OA的斜率為k，聯立方程組，進而求得面積的表達式，利用基本不等式，即可求解面積的最小值；

法二：由（Ⅱ），①當直線l的斜率不存在時，，②當直線l的斜率存在時，得出面積的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.

（Ⅰ）由已知，）

因為故所求橢圓的方程為;

（Ⅱ）法一：設，，

①當直線l的斜率不存在時，由橢圓對稱性知，，因為以AB為直徑的圓經過坐標原點O，故，即

又因為點在橢圓上，故，解得，

此時點O到直線AB的距離為

②當直線l的斜率存在時，設其方程為．

聯立得：

所以，

由已知，以AB為直徑的圓經過坐標原點O，則，且

故

化簡得，

故點O到直線AB的距離為綜上，點O到直線AB的距離為定值

法二：（若設直線方程為，也要對直線斜率為0進行討論）

設，

①當直線l的斜率為0時，由橢圓對稱性知x1=-x2，y1=y2，因為以AB為直徑的圓經過坐標原點O，故，即

又因為點在橢圓上，故，解得，

此時點O到直線AB的距離為

②當直線l的斜率不為0，或斜率不存在時，設其方程為．

聯立得：

所以，

故，

即,所以,

所以,

化簡得，故點O到直線AB的距離為

綜上，點O到直線AB的距離為定值

（Ⅲ）法一：當直線OA、直線OB中有一條斜率不存在，另一條斜率為0時，易知S=1;

當直線OA、直線OB斜率存在且不為0時，設直線OA的斜率為k，

則直線OB的斜率為，由得，

同理故

令，則

故綜上，△AOB面積S的最小值為．

法二：由（Ⅱ），①當直線l的斜率不存在時，，

②當直線l的斜率存在時，，且點O到直線AB的距離為，

故，

令，則，

因為，故．綜上，△AOB面積S的最小值為．