Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）或.

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）對(duì)等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，化簡(jiǎn),即，對(duì)任意的成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．

(1)，可得，即；

時(shí),,又，

相減可得,即，

則；

(2)證明：，

可得，

可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，

可得,即；

(3) ，

前n項(xiàng)和為，

，

相減可得

，

可得，

,即為，

即,對(duì)任意的成立，

由，

可得為遞減數(shù)列，即n=1時(shí)取得最大值12=1，

可得，即或.