Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，為的中點，平面，點在上，，為與的交點，且與平面所成的角為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連結，證明相似得到，得到證明.

（2）以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.

（1）連結，為的中點，，，

又，，．

又平面，平面，所以平面．

（2）因為是邊長為2的正三角形，為的中點，平面，

所以，，，兩兩垂直，以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

與平面所成的角為，又∥，與平面所成的角為，

又平面，與平面所成的角為，即．

又是邊長為2的正三角形，為的中點，，

由題意知，，，，

所以，，，，

設平面的法向量為，

所以，，即，取，

設平面的法向量為，

由，得，取，

所以，

設二面角的大小為，．

所以二面角的正弦值為．