Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分別是AC、BC的中點，F在SE上，且SF＝2FE.

（1）求證：平面SBC⊥平面SAE

（2）若G為DE中點，求二面角G﹣AF﹣E的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用底面證得，由等腰三角形的性質證得，由此證得平面，進而證得平面平面.

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得二面角的大小.

（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，

又∵AC＝AB，且點E是BC的中點，

∴BC⊥AE，

∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，

∵BC平面SBC，

∴平面SBC⊥平面SAE．

（2）以A點為坐標原點，分別以AC，AB，AS為x，y，z軸建立空間坐標系O﹣xyz，

則A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，，0），C（2，0，0），B（0，2，0），

由SF＝2FE得F（，，），

∴＝（1，1，0），＝（，），＝（1，，0），＝（2，﹣2，0）.

設平面AFG的法向量為＝（x，y，z），則，

令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，

即＝（﹣1，2，﹣1），

設平面AFE的法向量為，

由（1）知為平面AES的一個法向量，＝＝（2，﹣2，0），

∴cosα＝＝＝，

∵二面角G﹣AF﹣E的平面角為銳角，

∴二面角G﹣AF﹣E的大小為.